Reprezentacja sygnałów kwadraturowych w dziedzinie częstotliwości

Teraz, gdy wiemy już sporo o czasowej naturze sygnałów kwadraturowych, możemy spojrzeć na ich opis w dziedzinie częstotliwości. Materiał ten powinien być łatwy do zrozumienia, bo zilustrujemy wszystkie aspekty dziedziny częstotliwości w trzech wymiarach, dzięki czemu żadne ze związków fazowych naszych sygnałów kwadraturowych nie pozostaną ukryte. Rysunek 8 przedstawia zasady reprezentacji liczb zespolonych w postaci wykładniczej w dziedzinie częstotliwości.

Rys. 8. Interpretacja liczb zespolonych w postaci wykładniczej

Przedstawimy pojedynczą liczbę zespoloną w postaci wykładniczej jako wąski impuls zlokalizowany na częstotliwości odpowiadającej wartości f₀ danej sinusoidy. Przedstawimy też zależności fazowe między liczbami zespolonymi wzdłuż osi rzeczywistej i urojonej. Aby zilustrować te zależności potrzebujemy dziedziny częstotliwości zespolonej. Spójrzmy teraz na rysunek 9.

Rys. 9. Reprezentacje sinusoidy i kosinusoidy w dziedzinie częstotliwości zespolonej

Po prawej stronie rysunku można zaobserwować, jak rzeczywista sinusoida i kosinusoida są reprezentowane w dziedzinie częstotliwości zespolonej. Pogrubione strzałki nie oznaczają tu wskazów, ale impulsy w dziedzinie częstotliwości, reprezentujące linie widma (spektrum) pojedynczych liczb zespolonych w postaci wykładniczej . To, w którą stronę skierowany jest impuls oznacza tylko względną fazę składników widma. Amplitudy tych impulsów równe są po prostu ½. Dlaczego w ogóle zajmujemy się taką trójwymiarową reprezentacją? Bo jest ona narzędziem, które pomoże nam zrozumieć generację i odbiór sygnałów kwadraturowych w systemach komunikacyjnych, czyli ich modulację i demodulację, a to właśnie jest celem tego tekstu. Zanim dojdziemy do rozważania tych procesów, uzasadnijmy tę reprezentację za pomocą przykładu.

Rysunek 10 stanowi taki właśnie prosty przykład zastosowania zespolonej dziedziny częstotliwości. Zaczynamy od sinusoidy rzeczywistej, mnożymy ją przez jednostkę urojoną, a następnie dodajemy do wyniku tego mnożenia rzeczywistą kosinusoidę o tej samej częstotliwości. Wynikiem jest pojedyncza liczba zespolona w postaci wykładniczej , co ilustruje tożsamość Eulera zapisaną w równaniu (7).

Rys. 10. Graficzna ilustracja tożsamości Eulera  w dziedzinie częstotliwości zespolonej

Na osi częstotliwości, ujemne jej wartości są widoczne jako prążki widma zlokalizowane w punktach –2πf₀ radianów/s. Rysunek ilustruje korzyść z tej niewygodnej na pozór matematyki: gdy używamy notacji zespolonej, składowe zespolone w postaci wykładniczej  i  są podstawowymi składnikami rzeczywistych sinusoid sin(2πft ) i cos(2πft ). Gdybyśmy policzyli dyskretną transformatę Fouriera (DFT) zdyskretyzowanej w czasie sinusoidy sin(2πf₀t ), kosinusoidy cos(2πf₀t ) lub zespolonej sinusoidy , otrzymalibyśmy te same wąskopasmowe piki widma, co na rysunku 10.

Jeśli zrozumiałeś notację oraz operacje z rysunku 10, możesz poklepać się po ramieniu, bo wiesz już naprawdę sporo o naturze sygnałów kwadraturowych i matematyce, która za nimi stoi.

Sygnały kwadraturowe o ograniczonym pasmie w domenie częstotliwości

W przetwarzaniu kwadraturowym rzeczywistą część widma nazywa się zwyczajowo składową w fazie (albo współfazową), a urojona część widma jest nazywana składową w kwadraturze (albo kwadraturową). Sygnały, których zespolone widma są przedstawione na rysunku 11 w częściach a, b i c są rzeczywiste i w dziedzinie czasu można je przedstawić jako wartości amplitudy, mające niezerowe części rzeczywiste i zerowe części urojone. Do operowania nimi w dziedzinie czasu nie są konieczne liczby zespolone – sygnały te są rzeczywiste.

Sygnały rzeczywiste zawsze mają zarówno dodatnie, jak i ujemne składowe częstotliwościowe. Dla każdego sygnału rzeczywistego, dodatnie i ujemne składowe widma jego części współfazowej zawsze są symetryczne względem zera. Oznacza to, że dodatnie i ujemne składowe widma części współfazowej (rzeczywistej) są swoimi lustrzanymi odbiciami. Inaczej jest z dodatnimi i ujemnymi składowymi widma części kwadraturowej (urojonej), które mają zawsze przeciwne znaki. Oznacza to, że kąt fazowy każdej dodatniej składowej widmowej części kwadraturowej sygnału ma znak przeciwny do odpowiadającej mu ujemnej składowej widmowej, co obrazują cienkie strzałki na rysunku 11a. Ta „sprzężona symetria” jest niezmienną cechą sygnałów rzeczywistych, gdy ich widma reprezentujemy za pomocą notacji zespolonej.

Rys. 11. Kwadraturowa reprezentacja sygnałów: (a) rzeczywistej sinusoidy cos(2πf₀t + Φ), (b) rzeczywistego sygnału składającego się z sześciu sinusoid rozłożonych w pasmie o szerokości B, (c) rzeczywistego sygnału składającego się z nieskończonej liczby sinusoid w pasmie B Hz, (d) zespolonego sygnału o pasmie B Hz

Przypomnijmy raz jeszcze, pogrubione strzałki na rysunkach 11 (a) i (b) nie są rotującymi wskazami. Są to impulsy (piki) w dziedzinie częstotliwości, obrazujące pojedynczą liczbę zespoloną . Kierunki wskazywane przez te impulsy pokazują względną fazę składowych widmowych.

Zanim przejdziemy dalej, warto przedstawić jeszcze jedną prostą zasadę. Mnożenie sygnału czasowego przez liczbę zespoloną , nazywane mieszaniem kwadraturowym (lub mieszaniem zespolonym), przesuwa widmo tego sygnału w górę o częstotliwość f₀ Hz, co obrazują rysunki 12 (a) i (b). Analogicznie, mnożenie sygnału czasowego przez  przesuwa widmo sygnału w dół o f₀ Hz.

Rys. 12. Kwadraturowe mieszanie sygnałów: (a) widmo zespolonego sygnału x(t), (b) widmo sygnału x(t)·, (c) widmo sygnału x(t)·