Reprezentacja sygnałów rzeczywistych z użyciem wskazów zespolonych
Skierujmy teraz naszą uwagę na liczbę zespoloną będącą funkcją czasu. Wyobraźmy sobie liczbę o module (długości wskazu) równym jeden, której kąt fazowy rośnie z czasem. Liczba ta, zaznaczona na rysunku 5a niebieską kropką, to . Człon „
Rys. 5. Dwie liczby zespolone, których potęgi zmieniają się w czasie dla ustalonej chwili czasu
Nazwijmy teraz dwa wyrażenia zespolone
Można też o tych dwóch sygnałach
Aby upewnić się, że rozumiemy zachowanie tych wskazów, na rysunku 6a przedstawiona została w trzech wymiarach ścieżka, jaką pokonuje wskaz
Rys. 6. Ruch wskazu (a) i końca wskazu (b) reprezentującego liczbę
Powróćmy na chwilę do rysunku 5b i zadajmy sobie pytanie „jaka jest wektorowa suma tych dwóch wskazów, obracających się w przeciwnych kierunkach?”. Części rzeczywiste wskazów będą się sumować, a części urojone znosić. Oznacza to, że suma wskazów
Aby podkreślić znaczenie faktu, że suma dwóch zespolonych sinusoid jest rzeczywista, narysujmy jeszcze jeden wykres. Rozważmy przebieg w trójwymiarowej przestrzeni przedstawiony na rysunku 7, wygenerowany przez sumę dwóch wskazów zespolonych o połowicznej amplitudzie
Rys. 7. Kosinusoida reprezentowana przez sumę dwóch wskazów zespolonych
Gdy pomyślimy o tych wskazach, staje się jasne, dlaczego kosinus można przyrównać do sumy dwóch liczb zespolonych w postaci wykładniczej:
Równanie (10), dobrze znane i bardzo istotne, także jest jedną z tożsamości Eulera. Mogliśmy do niego dojść rozwiązując układ równań (7) i (8), szukając jsin(Φ), porównując je i rozwiązując tak powstałą równość szukając cos(Φ). Wykonując analogiczne ćwiczenie mogliśmy też pokazać, że rzeczywistą sinusoidę także można przedstawić jako sumę liczb zespolonych w postaci wykładniczej:
Przyjrzyjmy się równaniom (10) i (11) uważnie – są to standardowe wzory na sinus i kosinus wykorzystujące notację zespoloną, które często pojawiają się w literaturze dotyczącej kwadraturowych systemów komunikacyjnych. Aby uchronić czytelników przed bólem głowy, zaznaczymy tylko, że jedynym celem rysunków od 5 do 7 jest uzasadnienie wzorów (10) i (11). Te dwa równania, wraz ze wzorami (7) i (8) są dla przetwarzania sygnałów kwadraturowych tym, czym dla zrozumienia pisma egipskiego kamień z Rosetty.
Mamy teraz narzędzia by swobodnie tłumaczyć sinusoidy rzeczywiste na liczby zespolone w postaci wykładniczej i z powrotem. Powtórzmy, poznajemy teraz w jaki sposób sygnały rzeczywiste, które można przesłać za pomocą kabla koncentrycznego czy zdigitalizować i zapisać w pamięci komputera są reprezentowane w notacji zespolonej. I chociaż prawdą jest, że każda z części liczby zespolonej jest w istocie wyrażana jako liczba rzeczywista, to części te traktujemy nieco inaczej, bo są one w kwadraturze.