Od wzmacniacza nieodwracającego do integratora i wzmacniacza ładunkowego, czyli historia z zaskakującą pointą jak w dobrym kryminale

Jednym z podstawowych elementów współczesnej elektroniki są wzmacniacze operacyjne. W oparciu o nie można budować układy realizujące różnorodne funkcje, takie jak: liniowe i nieliniowe wzmacniacze napięciowe odwracające, nieodwracające, różnicowe, bufory, filtry, generatory, układy różniczkujące, całkujące, komparatory, detektory i wiele innych.

W artykule opisano różnice między poszczególnymi konfiguracjami wzmacniacza operacyjnego, a rozważania kończymy na dość szczególnej konstrukcji, jaką jest wzmacniacz ładunkowy. Aby zachować dreszczyk emocji, zalecam interaktywne zapoznawania się z treścią i odpowiadanie na zadawane pytania bez zaglądania na koniec, czyli tak jak powinno się czytać dobre kryminały,.

Transmitancja jako parametr pozwalający przewidzieć odpowiedź układu elektronicznego na zadane wymuszenie wejściowe

Jednym z pierwszych kroków projektowania układu elektronicznego przeznaczonego do realizacji założonej funkcji jest określenie jego transmitancji. Wzmacniacz operacyjny występuje zwykle w jednej z dwóch swoich podstawowych konfiguracji: wzmacniacza odwracającego i nieodwracającego fazę sygnału wejściowego. Sprawdźmy, jak wyglądają ich transmitancje.

Liniowy wzmacniacz nieodwracający

Rozważmy na początek wzmacniacz pracujący w konfiguracji nieodwracającej przestawiony na rysunku 1.

Rys. 1. Wzmacnia nieodwracający

Zakładamy przy tym, tu i w kolejnych rozważaniach, że wzmacniacz operacyjny jest zasilany dwoma symetrycznymi napięciami +U_z i -U_z. Dla czytelności rysunków, napięcia zasilające będą pomijane. Transmitancja (z którą można utożsamiać wzmocnienie K_U) takiego układu jest, jak pamiętamy, równa:

K_u=U₂/U₁=1+R₂/R₁

Wzmacniacz nieodwracający z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego

W ogólnym przypadku, dla sygnałów zmiennych i elementów o charakterze reaktancyjnym  należałoby napisać:

H(s)=U₂/U₁=1+Z₂/Z₁

gdzie Z₁ i Z₂, to impedancje, które teraz zastąpiły rezystancje R₁ i R₂. Jaki będzie to miało skutek w porównaniu z układem z rysunku 1? Rozważmy na początek przykład, w którym R₂ zastąpmy równoległym połączeniem rezystora R₂ i kondensatora C₂ (rysunek 2).

Rys. 2. Wzmacniacz nieodwracający z kondensatorem w obwodzie sprzężenia zwrotnego

Impedancja obwodu sprzężenia zwrotnego (z wyjścia wzmacniacza na jego we-) jako funkcja zmiennej zespolonej s jest równa:

Transmitancja całego wzmacniacza jest więc teraz równa:

Jak widać z powyższej zależności, to jedno dodanie kondensatora do układu spowodowało pojawienie się w transmitancji zarówno bieguna, jak i zera. Zwykły wzmacniacz przekształcił się w filtr. Pytanie tylko, jaki? Zależy to od rozkładu zer i biegunów na osi częstotliwości. Proponuję szybkie, intuicyjne udzielenie odpowiedzi.

Najprościej, bez obliczeń, przeprowadzić taki tok rozumowania:

• Dla DC i niskich częstotliwości reaktancja kondensatora C₂ dąży do nieskończoności, więc cały wzmacniacz można traktować tak, jakby układ sprzężenia zwrotnego składał się tylko z rezystora R₂, więc wzmocnienie dla R₁=10 kΩ, R₂=100 kΩ jest równe K_u=1+R₂/R₁=11 V/V=20,8 dB.
• Dla wielkich częstotliwości kondensator stanowi zwarcie, więc wzmocnienie jest równe 1 V/V=0 dB. Najpierw musi więc wystąpić biegun, a dopiero za nim zero.

Wnioski te wynikają również z samej transmitancji. Jej zero jest mniejsze od bieguna, o czym decyduje czynnik R₁/(R₁+R₂). Mniejszej wartości odpowiada wyższa częstotliwość.

Zobaczmy jak zachowuje się układ z rysunku 2, symulując go w programie LTspice. Przy podanych wartościach elementów częstotliwość bieguna jest równa f₁=1/(2*π*R₂*C₂)=159 Hz, a częstotliwość zera f₂=1/(2*π*R₂*R₁/(R1+R2)*C₂)=1751 Hz. Wynik symulacji przedstawiono na rysunku 3. Można powiedzieć, że eksperyment przebiegł zgodnie z przewidywaniami. Tym, co udzielili prawidłowej odpowiedzi należą się gratulacje.

Rys. 3. Charakterystyka częstotliwościowa wzmacniacza z rysunku 2

Liniowy wzmacniacz odwracający

Rys. 4. Wzmacniacz odwracający

Zajmijmy się teraz prostym wzmacniaczem odwracającym przedstawionym na rysunku 4. Jest to bardzo popularna, można powiedzieć, podstawowa konfiguracja wzmacniacza operacyjnego. W tym przypadku transmitancja jest opisana wyrażeniem:

K_u=U₂/U₁=-R₂/R₁

Znak minus oznacza odwrócenie fazy.

Wzmacniacz odwracający z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego

Sprawdźmy, co się stanie, jeśli w pętli ujemnego sprzężenia zwrotnego umieścimy kondensator. Przykład takiej konfiguracji widzimy na rysunku 5.

Rys. 5. Wzmacniacz odwracający z kondensatorem w obwodzie sprzężenia zwrotnego

Transmitancja układu zmienia się do postaci:

H(s)=-Z₂/Z₁

przy czym impedancję Z₂, na którą składają się równolegle połączone elementy R₂ i C₂ mamy już policzoną.

Ostatecznie transmitancja przyjmuje postać:

I znowu pytanie, jak będzie wyglądała charakterystyka częstotliwościowa układu? Stosując podobny jak poprzednio tok rozumowania, dla DC i małych częstotliwości wpływ pojemności C₂ jest pomijalny, mamy więc tylko rezystory R₁ i R₂, z czego wynika stałe wzmocnienie równe co do modułu R₂/R₁. Dla wartości elementów: R₁=10 kΩ, R₂=100 kΩ, C₂=10 nF, wzmocnienie będzie więc równe K_u=10 V/V=20 dB. Częstotliwość bieguna transmitancji jest w tym przypadku równa 1/(2*π*R₂*C₂)=159 Hz. Sprawdźmy to w symulacji. Jej wynik przedstawiono na rysunku 6.

Rys. 6. Charakterystyka częstotliwościowa wzmacniacza z rysunku 5

Ukryta cecha wzmacniacza odwracającego z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego

Dotychczas zadawane pytania były dość łatwe, teraz będzie nieco trudniej. Pytanie więc brzmi: jak będzie wyglądała odpowiedź układu z rysunku 5, jeśli wysterujemy go symetrycznym sygnałem prostokątnym o amplitudzie 1 V i częstotliwości mniejszej niż częstotliwość bieguna, np. 5 Hz? Czas do namysłu…

A oto odpowiedź: zgodnie z przewidywaniami uzyskaliśmy wzmocniony 10-krotnie przebieg prostokątny, mający więc amplitudę 10 V i częstotliwość 5 Hz oraz odwróconą fazę (rysunek 7).

Rys. 7. Odpowiedź wzmacniacza odwracającego z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego na wymuszenie sygnałem prostokątnym o częstotliwości mniejszej niż częstotliwość bieguna transmitancji

Teraz jedziemy w drugą stronę, zwiększamy częstotliwość tak, aby była wyższa od częstotliwości bieguna, np. 5 kHz. Wygląda na to, że wykraczamy poza pasmo robocze wzmacniacza, czy ma to sens? Czy będzie to skutkowało tylko drastycznie zmniejszoną amplitudą sygnału wyjściowego? I znowu czas do namysłu…

Wynik symulacji przedstawiono na rysunku 8. Co tu się porobiło? Prostokąt zamienił się na trójkąt (piłę). Dlaczego tak się stało?

Rys. 8. Odpowiedź wzmacniacza odwracającego z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego na wymuszenie sygnałem prostokątnym o częstotliwości wyższej niż częstotliwość bieguna transmitancji

Otóż dla sygnałów o częstotliwościach wyższych niż biegun transmitancji, na układ trzeba patrzeć nieco inaczej. Warto zauważyć, że dla zastosowanej do eksperymentu częstotliwości 5 kHz reaktancja kondensatora C₂ jest równa X_C2=1/(2*π*f*C₂)=3183 Ω, czyli jest wielokrotnie mniejsza od rezystancji R₂. W analizie można więc R₂ pominąć i traktować układ jakby tej rezystancji nie było. Przyjmując, że we- jest na potencjale masy i nie wpływa do niego żaden prąd, można przyjąć, że przez elementy C₂ i R₁ płynie jeden i ten sam prąd. Jest on równy I=U₁/R₁, a z drugiej strony prąd ten płynie przez C₂, więc jest także równy

Porównując obie zależności otrzymujemy:

czyli:

Okazuje się, że wzmacniacz odwracający przekształcił się teraz w układ całkujący czyli integrator. Fakt ten tłumaczy pojawienie się przebiegu trójkątnego przy sterowaniu przebiegiem prostokątnym. W przedziałach czasu, w których napięcie wejściowe jest stałe, na wyjściu pojawia się napięcie narastające (lub opadające) liniowo, ponieważ całka ze stałej jest funkcją liniową.

Czy można pominąć R₂? Pamiętamy, że dla DC i dla niskich częstotliwości reaktancja kondensatora dąży do nieskończoności. Można więc powiedzieć, że bez rezystora wzmacniacz pracuje z otwartą pętlą, co w układzie rzeczywistym, na skutek offsetu, szumów, niezrównoważeni itp. niechybnie prowadziłoby do nasycenia wyjścia. Rezystor R2 stanowi więc element niezbędny integratora, ale jego rezystancja powinna być jak największa, aby nie zaburzał operacji całkowania.

Wzmacniacza odwracający z pojemnością w obwodzie sprzężenia zwrotnego i na wejściu

Popatrzmy jeszcze raz na charakterystykę częstotliwościową wzmacniacza odwracającego z kondensatorem w obwodzie sprzężenia zwrotnego (rysunek 6). Jest ona typowa dla filtru dolnoprzepustowego. Co się stanie, jeśli dodamy kondensator szeregowy C₁ na wejściu wzmacniacza (rysunek 9)?

Rys. 9. Wzmacniacz odwracający z pojemnością w obwodzie wejściowym i w obwodzie sprzężenia zwrotnego

Policzmy transmitancję. Rezystancja R₁ zostanie teraz zastąpiona impedancją Z₁:

Transmitancja całego układu przyjmie postać:

Mamy więc „zero transmitancji” w zerze (DC) i dwa bieguny, którym dla elementów R₁=10 kΩ, R₂=100 kΩ, C₁=1 nF i C₂=10 nF odpowiadają częstotliwości f₁=1/(2*π*R₁*C₁)=15,92 kHz i f₂=1/(2*π*R₂*C₂)=159 Hz. Jak więc będzie wyglądała charakterystyka częstotliwościowa? Czas do namysłu…

Charakterystykę tę przedstawiono na rysunku 10. I znowu można zadać pytanie: co tu się wydarzyło…?

Okazuje się, że stała czasowa t=R₂C₂, która w układzie bez kondensatora C₁ wyznaczała biegun transmitancji odpowiadający za górną częstotliwość graniczną, teraz odpowiada za… częstotliwość dolną. Jednocześnie układ z konfiguracji dolnoprzepustowej przekształcił się w górnoprzepustową. No, może niezupełnie, bo kondensator C₁ wraz z rezystorem R₁ ogranicza pasmo od góry, więc de facto jest to układ pasmowoprzepustowy. W takim zastosowaniu pasmo robocze będzie jednak zwykle kończyło się przed górną częstotliwością graniczną, dlatego układ można zaliczyć do górnoprzepustowych.

Rys. 10. Charakterystyka częstotliwościowa wzmacniacza odwracającego z pojemnością w obwodzie wejściowym i w obwodzie sprzężenia zwrotnego

A co ze wzmocnieniem?

Przyzwyczailiśmy się, że we wzmacniaczach odwracających wzmocnienie zależy od stosunku rezystancji R₂/R₁, a kondensatory wpływają na częstotliwości graniczne – dolną i górną. W układzie przedstawionym na rysunku 9 będzie zgoła odwrotnie – wzmocnienie wyznacza stosunek pojemności C₁/C₂, a rezystory R₁ i R₂ wpływają jedynie na dolną i górną częstotliwość graniczną. Może to być wniosek dość nieoczywisty. Chociaż wzmocnienie nie zależy od rezystora R₂, nie można go pominąć w zastosowaniu praktycznym z podobnych względów, jak w integratorze. Bez niego układ mógłby się nasycić.

Wzmacniacz ładunkowy

Opisana wyżej konfiguracja określana jest często jako wzmacniacz ładunkowy. Dlaczego? Jest to poniekąd kwestia interpretacji zjawisk zachodzących w układzie. Wzmacniacz ładunkowy nie całkuje napięcia po czasie, tylko zamienia ładunek na napięcie. Ok, nie jest to łatwe do intuicyjnego zrozumienia, bo nawet wśród symboli elektrycznych stosowanych na schematach nie ma takiego, który oznaczałby źródło ładunku, natomiast są źródła czy to napięciowe czy prądowe. Ładunek dostarczony ze źródła jest gromadzony w kondensatorze sprzężenia zwrotnego C₂ i zamieniany na występujące na nim napięcie. Przyjmując, że we- wzmacniacza operacyjnego jest na potencjale zerowym, napięcie to pojawi się więc na wyjściu układu ze znakiem „-”. Znając zależności między pojemnością, ładunkiem i napięciem można więc napisać:

przy czym Q_C1=Q_C2, ponieważ ładunek ze źródła ładunku, jakim jest w tym przypadku kondensator C₁ przepływa do kondensatora C₂. Z kolei ładunek dostarczany z kondensatora C₁ jest równy:

Q_C1=U₁*C₁

Teraz można już obliczyć wzmocnienie napięciowe wzmacniacza ładunkowego:

Wzmacniacze ładunkowe nadają się doskonale do zastosowań, w których źródłem sygnału wejściowego są czujniki piezoelektryczne, fotodiody, czujniki promieniowania itp. I tu ważna uwaga: pojemność C₁ widoczna na rysunku 9 nie jest elementem zewnętrznym lutowanym na płytce, stanowi jedynie parametr charakterystyczny dla źródła sygnału. Może to być na przykład pojemność przetwornika piezoelektrycznego.